Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Bất phương trình \({\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) > 4 - m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;4} \right)\) khi và chỉ khi:
Câu 483721: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Bất phương trình \({\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) > 4 - m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;4} \right)\) khi và chỉ khi:
A. \(m \ge 3 - f\left( 1 \right)\)
B. \(m \ge 3 - f\left( 4 \right)\)
C. \(m \ge 4 - f\left( 1 \right)\)
D. \(m < 4 - f\left( { - 1} \right)\)
Quảng cáo
- Đặt \(t = f\left( x \right) + m + 2\), sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm \(t > {t_0}\).
- Đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 1;4} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\).
- Lập BBT hàm số \(f\left( x \right)\), và sử dụng ứng dụng tích phân tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\).
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) > 4 - m\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) + m + 2 > 6\end{array}\)
Đặt \(t = f\left( x \right) + m + 2\), bất phương trình trở thành \({\log _5}t + t > 6\,\,\left( {t > 0} \right)\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _5}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(g'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Lại có \(g\left( 5 \right) = {\log _5}5 + 5 = 6\) nên ta có \(g\left( t \right) > g\left( 5 \right) \Leftrightarrow t > 5\).
Khi đó ta có \(f\left( x \right) + m + 2 > 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) > 3 - m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( { - 1;4} \right)\) \( \Leftrightarrow 3 - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có BBT như sau:
Ta cần so sánh \(f\left( { - 1} \right)\) và \(f\left( 4 \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx} < - \int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) < - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\end{array}\)
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\).
Vậy \(3 - m \le f\left( 4 \right) \Leftrightarrow m \ge 3 - f\left( 4 \right)\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
