Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(5f\left( x

Câu hỏi số 483722:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{a}{b}\) (với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(T = 3a - b\).

A. \(T = 0\)

B. \(T = - 48\)

C. \(T = 16\)

D. \(T = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483722

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần xử lý \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} \).

- Thay \(x = 0,\,\,x = 1\) vào \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\), giải hệ tìm \(f\left( 1 \right)\).

- Kấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\), tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có \(I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

Theo bài ra ta có: \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\)

Thay \(x = 0 \Rightarrow 5f\left( 0 \right) - 7f\left( 1 \right) = 0\)

Thay \(x = 1\) \( \Rightarrow 5f\left( 1 \right) - 7f\left( 0 \right) = - 3\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = \dfrac{7}{8},\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{5}{8}\).

Xét tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

Từ \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\) lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - 7\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {3\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow 5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 7\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right)} = - 2\\ \Leftrightarrow 5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 7\int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx} = - 2\\ \Leftrightarrow 5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - 7\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2\\ \Leftrightarrow - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 1\end{array}\)

Suy ra \(I = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{5}{8} - 1 = - \dfrac{3}{8} \Rightarrow a = 3,\,\,b = 8\).

Vậy \(T = 3a - b = 3.3 - 8 = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.