Cho bốn số thực \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn \(a + b + c + d = 2021\). Gọi

Câu hỏi số 484601:

Vận dụng cao

Cho bốn số thực \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn \(a + b + c + d = 2021\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {{{\log }_a}x} \right).\left( {{{\log }_b}x} \right) - \left( {1 + 2{{\log }_a}b + 3{{\log }_a}c + 5{{\log }_a}d} \right).{\log _b}x - {\log _b}{a^{2020}} = 0\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + 2b + 3c + 5d\) khi \({x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(S = \dfrac{{8084}}{{11}}\)

B. \(S = \dfrac{{22231}}{4}\)

C. \(S = \dfrac{{78819}}{4}\)

D. \(S = \dfrac{{78819}}{{11}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484601

Phương pháp giải

- Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\), với \(t = {\log _a}x\). Sử dụng công thức \({\log _x}y = \dfrac{{{{\log }_z}y}}{{{{\log }_z}x}}\) \(\left( {0 < x,z \ne 1,\,\,y > 0} \right)\).

- Sử dụng định lí Vi-ét tìm \({x_1}{x_2}\) theo \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).

- Áp dụng BĐT Cô-si \(\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \ge \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\,\,\left( {{x_i} > 0} \right)\). Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, từ đó tìm được \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) và tính \(S\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ \(x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {{{\log }_a}x} \right).\left( {{{\log }_b}x} \right) - \left( {1 + 2{{\log }_a}b + 3{{\log }_a}c + 5{{\log }_a}d} \right).{\log _b}x - {\log _b}{a^{2020}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}x} \right).\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} - \left( {1 + 2{{\log }_a}b + 3{{\log }_a}c + 5{{\log }_a}d} \right).\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} - \dfrac{{2020}}{{{{\log }_a}b}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}x} \right)^2} - \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}{b^2} + {{\log }_a}{c^3} + {{\log }_a}{d^5}} \right){\log _a}x - 2020 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}x} \right)^2} - {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right).{\log _a}x - 2020 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _a}x\), phương trình trở thành \({t^2} - {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right).t - 2020 = 0\).

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình ban đầu nên \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = {\log _a}{x_1}\\{t_2} = {\log _a}{x_2}\end{array} \right.\) là 2 nghiệm của phương trình (*).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{t_1} + {t_2} = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _a}{x_1} + {\log _a}{x_2} = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = a{b^2}{c^3}{d^5}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a + b + c + d = 2021\\ \Leftrightarrow 2021 = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5}\\ \Leftrightarrow 2021 \ge 11\sqrt[{11}]{{a.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}}}\\ \Leftrightarrow 2021 \ge 11\sqrt[{11}]{{\dfrac{{a{b^2}{c^3}{d^5}}}{{337500}}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a{b^2}{c^3}{d^5}}}{{337500}} \le {\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\\ \Leftrightarrow a{b^2}{c^3}{d^5} \le 337500{\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a + b + c + d = 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a + 2a + 3a + 5a = 2021\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a = \dfrac{{2021}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{2021}}{{11}}\\b = \dfrac{{4042}}{{11}}\\c = \dfrac{{6063}}{{11}}\\d = \dfrac{{10105}}{{11}}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow {x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(337500{\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\) khi \(a = \dfrac{{2021}}{{11}},\,\,b = \dfrac{{4042}}{{11}},\,\,c = \dfrac{{6063}}{{11}},\,\,d = \dfrac{{10105}}{{11}}\).

Vậy khi \({x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(S = a + 2b + 3c + 5d = \dfrac{{78819}}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.