Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - \overline z } \right| = \sqrt {13} \) và \(\left( {1 + 2i}

Câu hỏi số 485462:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - \overline z } \right| = \sqrt {13} \) và \(\left( {1 + 2i} \right)z\) là số thuần ảo?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485462

Phương pháp giải

- Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

- Thay vào giải thiết suy ra 2 phương trình ẩn \(x,\,\,y\).

- Giải tìm \(x,\,\,y\).

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

+) \(\left| {2z - \overline z } \right| = \sqrt {13} \Leftrightarrow \left| {2x + 2yi - x + yi} \right| = \sqrt {13} \)

\( \Leftrightarrow \left| {x + 3yi} \right| = \sqrt {13} \Leftrightarrow {x^2} + 9{y^2} = 13\,\,\left( 1 \right)\).

+) \(\left( {1 + 2i} \right)z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {x + yi} \right) = x - 2y + \left( {2x + y} \right)i\) là số thuần ảo \( \Rightarrow x - 2y = 0 \Leftrightarrow x = 2y\).

Thay vào (1) ta có \(4{y^2} + 9{y^2} = 13 \Leftrightarrow 13{y^2} = 13 \Leftrightarrow y = \pm 1\).

Với \(y = 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z = 2 + i\).

Với \(y = - 1 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow z = - 2 - i\).

Vậy có 2 số phức thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.