Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\) và diện tích đáy bằng
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\) và diện tích đáy bằng \({a^2}\) (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Đổi \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\), với \(O = AC \cap BD\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\), chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(AO \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\end{array}\)
Vì \({S_{ABCD}} = {a^2} \Rightarrow BC = a\), \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\)
Ta có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SOM\): \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
