Xét hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng
Xét hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Biết rằng \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8}\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Chứng minh \({V_{S.ABC}}\) lớn nhất khi \(SA\) đạt giá trị lớn nhất.
- Đặt \(SA = x > 0\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAN} \right)\) kẻ \(AH \bot SN\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
- Nối \(BH\), gọi \(K\) là trung điểm của \(BH\). Chứng minh \(MK \bot \left( {SBC} \right)\), từ đó xác định \(\varphi = \angle \left( {SM;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Sử dụng \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8}\), giải phương trình tìm \(x\).
Vì đáy là tam giác đều cạnh 2 nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \).
Đặt \(SA = x > 0\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}x.\sqrt 3 \) đạt giá trị lớn nhất khi \(x\) lớn nhất.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAN} \right)\) kẻ \(AH \bot SN\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\end{array}\)
Nối \(BH\), gọi \(K\) là trung điểm của \(BH\) \( \Rightarrow MK\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\) nên \(MK//AH\).
Mà \(AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MK \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) lên \(\left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow \varphi = \angle \left( {SM;\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;SK} \right) = \angle MSK\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\sin \varphi = \dfrac{{MK}}{{SM}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{SA.AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} .\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{x^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\sqrt 3 }}{{\sqrt {{x^2} + 3} .\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x = \sqrt 2 \sqrt {{x^2} + 3} .\sqrt {{x^2} + 1} \\ \Leftrightarrow 8{x^2} = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 3\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \({\left( {{V_{S.ABC}}} \right)_{\max }} = \dfrac{1}{3}\sqrt 3 .\sqrt 3 = 1\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
