Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để giá trị

Câu hỏi số 486403:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( {2\sin x + 1} \right) + m} \right|\) không vượt quá 10?

A. \(45\)

B. \(43\)

C. \(30\)

D. \(41\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486403

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2\sin x + 1 \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Khi đó hàm số trở thành \(y = \left| {f\left( t \right) + m} \right|\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + m = {t^3} - 3t + 1 + m\) với \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\) ta có:

\(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\)

Ta có: \(g\left( 3 \right) = m + 19,\,\,g\left( 1 \right) = m - 1,\,\,g\left( { - 1} \right) = m + 3\) nên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( t \right) = m - 1,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( t \right) = m + 19\).

TH1: Nếu \(m + 19 > m - 1 > 0\,\,\left( {m > 1} \right)\)

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(m - 1 \le 10 \Leftrightarrow m \le 11 \Rightarrow 1 < m \le 11\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH2: Nếu \(0 > m + 19 > m - 1\,\,\left( {m < - 19} \right)\).

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(m + 19 \ge - 10 \Leftrightarrow m \ge - 29 \Rightarrow - 29 \le m < - 19\,\,\,\left( 2 \right)\)

TH3: Nếu \(m - 1 \le 0 \le m + 19 \Leftrightarrow - 19 \le m \le 1\) thì \(\min y = 0\) (đúng) (3).

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow - 29 \le m \le 11\).

Vậy có 41 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.