Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 486408:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = 14\), \(\int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{{2187}}{{20}}\) và \(\int\limits_0^3 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}}\). Giá trị của \(\int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{729}}{5}\)

B. \(\dfrac{{93}}{8}\)

C. \(\dfrac{{531}}{4}\)

D. \(\dfrac{{69}}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486408

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_0^3 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}} \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^3 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}f\left( 3 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}}\\ \Leftrightarrow 63 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{531}}{{20}}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{729}}{{10}}\end{array}\)

Xét \(\int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right) + k{x^2}} \right]}^2}dx} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} + 2k\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + {k^2}\int\limits_0^3 {{x^4}dx} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2187}}{{20}} + 2k.\dfrac{{729}}{{10}} + {k^2}\left. {\dfrac{{{x^5}}}{5}} \right|_0^3 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{243}}{5}{k^2} + \dfrac{{729}}{5}k + \dfrac{{2187}}{{20}} = 0\\ \Leftrightarrow k = - \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right) - \dfrac{3}{2}{x^2}} \right]}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}{x^2}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\dfrac{3}{2}{x^2}dx} = \dfrac{{{x^3}}}{2} + C\).

Lại có \(f\left( 3 \right) = 14 \Rightarrow 14 = \dfrac{{27}}{2} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int\limits_0^3 {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{1}{2} - 1} \right)dx} = \dfrac{{69}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.