Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\) và \(CD\) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,AB\), chứng minh \(d\left( {SC;MN} \right) = d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
- Đổi \(d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot MQ\,\,\left( {H \in MQ} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {MPNQ} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(P\) là trung điểm của \(SD\) ta có \(NP//SC \Rightarrow SC//\left( {MNP} \right) \supset MN\).
\( \Rightarrow d\left( {MN;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MNP} \right)} \right)\).
Gọi \(Q\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow MP//NQ\) \( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {MPNQ} \right)\) nên \(d\left( {S;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Ta có: \(SA \cap \left( {MPNQ} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)}} = \dfrac{{MS}}{{MA}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot MQ\,\,\left( {H \in MQ} \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}QN \bot AB\\QN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow QN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow QN \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot QN\\AH \bot QM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {MPNQ} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AQ = \dfrac{1}{2}AB = a\), \(AM = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AMQ\) ta có: \(AH = \dfrac{{AM.AQ}}{{\sqrt {A{M^2} + A{Q^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{5{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {SC;MN} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
