Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) và

Câu hỏi số 487245:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) và điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng \(r\). Khi \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\sqrt 2 \)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487245

Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago, chứng minh: Để \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IH\) đạt giá trị lớn nhất.

- Nhận xét \(IH \le IM\).

- Khi \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Sử dụng: Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left( { - 7} \right)} = 3\).

Ta có \(MI = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 < R\) nên \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(r = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - I{H^2}} \).

Để \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IH\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(\Delta IMH\) vuông tại \(H\) nên \(IH \le IM\), do đó \(I{H_{\max }} = IM = \sqrt 3 \) khi \(H \equiv M\) hay \(IM \bot \left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là: \(x - y + z - 3 = 0\).

Vậy \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.