Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\). \(M\) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\). \(M\) là điểm di động trên \(Oz\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên \(MB\) và \(OB\). Đường thẳng \(HK\) cắt trục \(Oz\) tại \(N\). Khi đó thể tích của tứ diện \(MNAB\) nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {AHN} \right)\) có dạng \(ax + by - \sqrt 2 z + c = 0\). Giá trị biểu thức \(a + b + c\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Sử dụng: \({V_{AMNB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNB} \right)} \right){S_{\Delta MNB}}\), chứng minh \({V_{AMNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MNB}}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
- Sử dụng: \({S_{\Delta MNB}} = \dfrac{1}{2}BO.MN\), chứng minh \({S_{\Delta MNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M{N_{\min }}\).
- Chứng minh \(\Delta OMB \sim \Delta OKN\), từ đó tính \(OM.ON\) và áp dụng BĐT Cô-si tìm \(M{N_{\min }}\).
- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, suy ra tọa độ điểm \(M\).
- Chứng minh \(MB \bot \left( {AHN} \right)\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AHN} \right)\).
Ta có: \({V_{AMNB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNB} \right)} \right){S_{\Delta MNB}}\).
Ta có \(d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {Oyz} \right)} \right) = \sqrt 3 \) không đổi nên \({V_{AMNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MNB}}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \({S_{\Delta MNB}} = \dfrac{1}{2}BO.MN = \dfrac{1}{2}.2.MN = MN\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow MN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AK \bot OB\\AK \bot OM\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {OMB} \right) \Rightarrow AK \bot MB\\\left\{ \begin{array}{l}MB \bot AK\\MB \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow MB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow MB \bot HK \Rightarrow MB \bot KN\end{array}\)
Xét \(\Delta OMB\) và \(\Delta OKN\) có:
\(\angle MOB = \angle KON = {90^0}\)
\(\angle OMB = \angle OKN\) (hai góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc).
\( \Rightarrow \Delta OMB \sim \Delta OKN\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OK}}{{ON}} \Rightarrow OM.ON = OK.OB = 2.1 = 2\).
Khi đó ta có \(MN = OM + ON \ge 2\sqrt {OM.ON} = 2\sqrt 2 \) (BĐT Cô-si).
Dấu “=” xảy ra khi \(OM = ON = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow M\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( {0; - 2;\sqrt 2 } \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {AHN} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {AHN} \right)\): \( - 2y + \sqrt 2 z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2y - \sqrt 2 z - 2 = 0\)
\( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 2,\,\,c = - 2\).
Vậy \(a + b + c = 0\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
