Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) \(M = 4x-{x^2} +

Câu hỏi số 487387:

Vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) \(M = 4x-{x^2} + 3\)

b) \(N = x-{x^2}\)

c) \(P = 4x-2{x^2}-10\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487387

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức để đưa biểu thức đã cho về dạng \(P = - {\left( {x \pm a} \right)^2} + c \le c\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \mp a\).

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(M = 4x-{x^2} + 3 = - {x^2} + 4x - 4 + 7 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 7\)

Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} + 7 \le 7\) với mọi \(x \in R\)

Vậy \(M \le 7\) với mọi \(x \in R\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(7\) tại \(x = 2\).

b) Ta có:

\(N = x-{x^2}\)\( = - {x^2} + 2.\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\)\( = - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4}\)

Ta có: \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\) với mọi \(x \in R\)

Vậy \(N \le \dfrac{1}{4}\) với mọi \(x \in R\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(N\) là \(\dfrac{1}{4}\) tại \(x = \dfrac{1}{2}\).

c) Ta có:

\(P = 4x-2{x^2}-10\)\( = - 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 8 = - 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 8\)

Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - 2{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow - 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 8 \le - 8\) với mọi \(x \in R\)

Vậy \(P \le - 8\) với mọi \(x \in R\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \( - 8\) tại \(x = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link