Cho phương trình \({2^m}{.2^{{{\sin }^2}x}} + 3.\dfrac{1}{{{9^{\cos x + 2}}}} + m - {\cos ^2}x = \) \( {8.4^{\cos

Câu hỏi số 489629:

Vận dụng

Cho phương trình \({2^m}{.2^{{{\sin }^2}x}} + 3.\dfrac{1}{{{9^{\cos x + 2}}}} + m - {\cos ^2}x = \) \( {8.4^{\cos x}} + 2\left( {\cos x + 1} \right) + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^m}{.3^{{{\cos }^2}x - 1}}\,\,\,\left( 1 \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình (1) có nghiệm thực?

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(7\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489629

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng.

- Đưa về phương trình lượng giác, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^m}{.2^{{{\sin }^2}x}} + 3.\dfrac{1}{{{9^{\cos x + 2}}}} + m - {\cos ^2}x = {8.4^{\cos x}} + 2\left( {\cos x + 1} \right) + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^m}{.3^{{{\cos }^2}x - 1}}\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow {2^{m + {{\sin }^2}x}} + {3^{ - 2\cos x - 3}} + m + {\sin ^2}x = {2^{2\cos x + 3}} + 2\cos x + 3 + {3^{ - m - {{\sin }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {2^{m + {{\sin }^2}x}} + m + {\sin ^2}x - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{m + {{\sin }^2}x}} = {2^{2\cos x + 3}} + 2\cos x + 3 - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2\cos x + 3}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\ln \dfrac{1}{3} > 0\,\,\forall t\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(f\left( {m + {{\sin }^2}x} \right) = f\left( {2\cos x + 3} \right)\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m + {\sin ^2}x = 2\cos x + 3\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x + 2\cos x + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\cos x + 1} \right)^2} = m - 1\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\,\,\forall x\).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(0 \le m - 1 \le 4 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.