Cho các hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\) và \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}
Cho các hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\) và \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {m,\,\,n,\,\,p,\,\,q,\,\,r,\,\,a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)\). Các hàm số \(f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên:
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow & a{x^3} + b{x^2} + cx + d = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\)
\( \Leftrightarrow m{x^4} + \left( {n - a} \right){x^3} + \left( {p - b} \right){x^2} + \left( {q - c} \right)x + r - d = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)\) nên \(x = 0\) là nghiệm của phương trình (1) \( \Rightarrow r = d\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 4m{x^3} + 3n{x^2} + 2px + q\\g'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\end{array} \right.\)
Xét \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \Leftrightarrow 4m{x^3} + 3\left( {n - 1} \right){x^2} + 2\left( {p - d} \right)x + q = 0\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(m > 0,\,\,a > 0,\,\,g'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Lại thấy phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - a\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 3\left( {n - a} \right) - 2\left( {p - b} \right) + q = 0\\4m + 3\left( {n - a} \right) + 2\left( {p - b} \right) + q = 0\\32m + 12\left( {n - a} \right) + 4\left( {p - b} \right) + q = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p - b = - 2m\\q = - 3\left( {n - a} \right)\\32m - 4q - 8m + q = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p - b = - 2m\\n - a = - \dfrac{8}{3}m\\q = 8m\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình (1) trở thành
\(\begin{array}{l}m{x^4} - \dfrac{8}{3}m{x^3} - 2m{x^2} + 8mx = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - \dfrac{8}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - \dfrac{8}{3}{x^2} - 2x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^3} - \dfrac{8}{3}{x^2} - 2x + 8 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{8}{3}{x^2} - 2x + 8\) ta có \(h'\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{16}}{3}x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{8 + \sqrt {118} }}{9}\\{x_2} = \dfrac{{8 - \sqrt {118} }}{9}\end{array} \right.\)
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất thuộc \(\left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm \(x = 0\) và \(x \in \left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là \(S \in \left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
