Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SA = 2BC = 2a\sqrt 3 \), \(AC = a\) và \(\angle
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SA = 2BC = 2a\sqrt 3 \), \(AC = a\) và \(\angle BAC = {120^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên các cạnh \(SB\) và \(SC\) lần lượt là \(M\) và \(N\). Thể tích của khối đa diện \(AMNCB\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính \(AB\), từ đó tính \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC\) và tính \({V_{S.ABC}}\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính các tỉ số \(\frac{{SM}}{{SB}},\,\,\frac{{SN}}{{SC}}\).
- Sử dụng tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}}\), từ đó tính \({V_{S.AMN}}\).
- Tính \({V_{AMNCB}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\\ \Rightarrow \cos {120^0} = \frac{{A{B^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2aAB}}\\ \Leftrightarrow - aAB = A{B^2} - 2{a^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} + aAB - 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {AB - a} \right)\left( {AB + 2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow AB = a\end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \frac{1}{2}.a.a.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ta có:
\(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{12{a^2}}}{{13{a^2}}} = \frac{{12}}{{13}}\), \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{12{a^2}}}{{13{a^2}}} = \frac{{12}}{{13}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{12}}{{13}}.\frac{{12}}{{13}} = \frac{{144}}{{169}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{{144}}{{169}}{V_{S.ABC}} = \frac{{72}}{{169}}{a^3}\end{array}\)
Vậy \({V_{AMNCB}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}} = \frac{{{a^3}}}{2} - \frac{{72{a^3}}}{{169}} = \frac{{25}}{{338}}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
