Trong không gian \(Oxzy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} =

Câu hỏi số 490888:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxzy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\) lần lượt cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) tại \(B\) và \(C\). Độ dài \(BC\) bằng:

A. \(\frac{{7\sqrt 6 }}{4}\)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\frac{{7\sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490888

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ \(B \in {d_1},\,\,C \in {d_2}\) lần lượt theo 2 ẩn \(b,\,\,c\).

- Giải hệ \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) tìm \(k,\,\,b,\,\,c\).

- Suy ra tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) và tính \(BC + \sqrt {{{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_C} - {z_B}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}B \in {d_1} \Rightarrow B\left( {1 + b;\,\, - 1 - b;\,\,2b} \right)\\C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {c;\,\,1 + 2c;\,\,c} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {b;\,\, - 1 - b;\,\,2b - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {c - 1;\,\,1 + 2c;\,\,c - 1} \right)\).

Vì \(A,\,\,B,\,\,C \in d\) nên chúng thẳng hàng, do đó tồn tại hằng số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = k\left( {c - 1} \right)\\ - 1 - b = k\left( {1 + 2c} \right)\\2b - 1 = k\left( {c - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = k\left( {c - 1} \right)\\ - 1 - b = k\left( {1 + 2c} \right)\\2b - 1 = b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\1 = k\left( {c - 1} \right)\\ - 2 = k\left( {1 + 2c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\kc - k = 1\\k + 2kc = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\kc = k + 1\\k + 2k + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\k = - \frac{4}{3}\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B\left( {2; - 2;2} \right);\,\,C\left( {\frac{1}{4};\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\).

Vậy \(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{7}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{4}} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt 6 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.