Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f( - x) + 2021f(x) = x\sin x,\,\forall x

Câu hỏi số 491369:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f( - x) + 2021f(x) = x\sin x,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{1}{{2021}}\)

B. \(\dfrac{1}{{2022}}\)

C. \(\dfrac{1}{{1011}}\)

D. \(\dfrac{2}{{2019}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491369

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế để làm xuất hiện \(I = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \)

Tính các tính phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc tích phân từng phần.

Giải chi tiết

\(f\left( { - x} \right) + 2021f\left( x \right) = x\sin x\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx + 2021\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} f } \left( x \right)dx = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \) (1)

Ta tính: \(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx.\) Khi đó \(x:\dfrac{{ - \pi }}{2} \to \dfrac{\pi }{2}\) thì \(t:\dfrac{\pi }{2} \to \dfrac{{ - \pi }}{2}\)

\(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{ - \pi }}{2}} {f\left( t \right)dt} = I\)

Ta tính: \(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx = - x\cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\ - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.} + \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \sin x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\\frac{{ - \pi }}{2}\end{array} \right. = 2\)

Thay vào (1) ta có: \(I + 2021.I = 2 \Rightarrow 2022I = 2 \Rightarrow I = \dfrac{1}{{1011}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.