Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 491716:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}}\) và \(f\left( 0 \right) = - 2\). Tính \(f\left( 1 \right)\).

A. \(f\left( 1 \right) = - e\)

B. \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{2}{e}\)

C. \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{e}\)

D. \(f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{e}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491716

Phương pháp giải

- Nhân cả 2 vế với \({e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}\) và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.

- Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = - 2\) tìm hàm \(f\left( x \right)\) tường minh và tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f'\left( x \right) + {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}xf\left( x \right) = 2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f'\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}} \right)' = 2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right){e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}} \right)' = 2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}\\ \Rightarrow f\left( x \right){e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}} = \int {2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}dx} \end{array}\)

Xét \(I = \int {2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}dx} \).

Đặt \(u = {e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}} \Rightarrow du = - x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}dx\) \( \Rightarrow xdx = - \dfrac{{du}}{{{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}}} = - \dfrac{{du}}{u}\).

Khi đó ta có \(I = \int {2x{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}}dx} = - \int {2u.\dfrac{{du}}{u}} = - 2\int {du} = - 2u + C = - 2{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}} + C\).

\( \Rightarrow f\left( x \right){e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}} = - 2{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}} + C\).

Mà \(f\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow - 2 = - 2 + C \Leftrightarrow C = 0\).

Do đó \(f\left( x \right){e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}} = - 2{e^{\dfrac{{ - {x^2}}}{2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2{e^{ - {x^2}}}\).

Vậy \(f\left( 1 \right) = - 2{e^{ - 1}} = - \dfrac{2}{e}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.