Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\). Giá

Câu hỏi số 492316:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = b + \frac{9}{{a + 2}}\) là:

A. \(7\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492316

Phương pháp giải

Xét hàm số đặc trưng và biểu diễn b theo a.

Thay vào P, sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {\frac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\\ \Leftrightarrow {\log _2}b - {\log _2}\left( {2a + 2} \right) = a - b\\ \Leftrightarrow {\log _2}b - {\log _2}\left( {a + 1} \right) - 1 = a - b\\ \Leftrightarrow {\log _2}b + b = {\log _2}\left( {a + 1} \right) + a + 1\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( b \right) = f\left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow b = a + 1\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}P = b + \frac{9}{{a + 2}} = b + \frac{9}{{b + 1}} = b + 1 + \frac{9}{{b + 1}} - 1\\\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {\left( {b + 1} \right).\frac{9}{{b + 1}}} - 1 = 5\end{array}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(b + 1 = \frac{9}{{b + 1}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + 1 = 3\\b + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2\,\,\left( {tm} \right)\\b = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\min P = - 5 \Leftrightarrow b = 2,\,\,a = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.