Cho \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}}\) là số

Câu hỏi số 492320:

Vận dụng

Cho \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}}\) là số ảo và \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 6 \). Môđu của \({z_1}\) bằng:

A. \(2\sqrt 3 \)

B. \(2\)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492320

Phương pháp giải

Đặt \({z_1} = x + yi \Rightarrow {z_2} = x - yi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\).

Thay vào giả thiết \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 6 \) tìm x.

Thay vào \(\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}}\), biến đổi đưa về dạng \(\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}} = A + Bi\) là số ảo nên A = 0. Giải phương trình tìm y.

Giải chi tiết

Đặt \({z_1} = x + yi \Rightarrow {z_2} = x - yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow \left| {x + yi + x - yi} \right| = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \,\,\left( 1 \right)\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{z_1}}}{{z_2^2}} = \frac{{x + yi}}{{{{\left( {x - yi} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x + yi} \right)}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 2xyi}}\\ = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left[ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2xyi} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x + yi} \right)xyi}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)i + 2{x^2}yi - 2x{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 2x{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}} + \frac{{y\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2{x^2}y}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}i\end{array}\)

Vì \(\frac{{{z_1}}}{{z_2^2}}\) là số ảo nên

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 2x{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 3 y\\x = - \sqrt 3 y\end{array} \right.\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\sqrt 6 ;\sqrt 2 } \right);\left( {\sqrt 6 ; - \sqrt 2 } \right);\left( { - \sqrt 6 ;\sqrt 2 } \right);\left( { - \sqrt 6 ; - \sqrt 2 } \right)} \right\}\).

Vậy \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {6 + 2} = 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.