Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên \(m\) sao cho phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) =

Câu hỏi số 492323:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên \(m\) sao cho phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm. Tổng các phần tử của \(S\) là:

A. \( - 4\)

B. \( - 2\)

C. \( - 3\)

D. \( - 5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492323

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ.

Xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + 2m > 0\\{3^x} - {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} > - 2m\\{3^x} > {m^2}\end{array} \right.\).

Đặt \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right) = t\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{3^t} = {3^x} + 2m\\{5^t} = {3^x} - {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} = {3^t} - 2m\\{3^x} = {5^t} + {m^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {3^t} - 2m = {5^t} + {m^2} \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {3^t} - {5^t} + 1 = f\left( t \right)\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} - {5^t} + 1\) ta có \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 - {5^t}\ln 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} = \frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}\) \( \Rightarrow t = {\log _{\frac{3}{5}}}\left( {\frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}} \right) = {t_0}\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \(0 \le {m^2} + 2m + 1 \le f\left( {{t_0}} \right) \approx 1,1396\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(\left[ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 = 0\\{m^2} + 2m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = \left\{ { - 1;0; - 2} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \( - 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.