Cho hai số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w - 2 + 4i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - 2wz - 4} \right|\) bằng:
Câu 492325: Cho hai số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w - 2 + 4i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - 2wz - 4} \right|\) bằng:
A. \(8\sqrt {10} - 4\)
B. \(4\sqrt 5 \)
C. \(4\)
D. \(8\sqrt 2 - 4\)
Đặt \(z = x + yi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Thay vào các giả thiết tìm các quỹ tích điểm biểu diễn số phức z.
Đánh giá và tìm GTNN của T.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo bài ra ta có:
+) \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\).
+) \(T = \left| {{z^2} - 2wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - 2wz - {{\left| z \right|}^2}} \right|\)
\(\begin{array}{l} = \left| {{z^2} - 2wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - 2w - \overline z } \right|\\ = 2\left| {x + yi - 2w - x + yi} \right|\\ = 2\left| {2yi - 2w} \right| = 4\left| {yi - w} \right|\\ = 4\left| { - 2 + \left( {y + 4} \right)i - \left( {w - 2 + 4i} \right)} \right|\\ \ge 4\left[ {\left| { - 2 + \left( {y + 4} \right)i} \right| - \left| {w - 2 + 4i} \right|} \right]\\ = 4\left( {\sqrt {4 + {{\left( {y + 4} \right)}^2}} - 1} \right)\end{array}\)
Vì \({x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow {y^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le y \le 2\).
\( \Rightarrow 2 \le y + 4 \le 6 \Rightarrow {\left( {y + 4} \right)^2} \ge 4\).
Suy ra \(T \ge 4\left( {\sqrt 8 - 1} \right) = 8\sqrt 2 - 4\).
Dấu “=” xảy ra khi \(z = - 2i,\,\,w = \left( {2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 4} \right)i\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) bằng \(8\sqrt 2 - 4\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
