Cho hai số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w - 2 + 4i} \right| = 1\). Giá trị

Câu hỏi số 492325:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w - 2 + 4i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - 2wz - 4} \right|\) bằng:

A. \(8\sqrt {10} - 4\)

B. \(4\sqrt 5 \)

C. \(4\)

D. \(8\sqrt 2 - 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492325

Phương pháp giải

Đặt \(z = x + yi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Thay vào các giả thiết tìm các quỹ tích điểm biểu diễn số phức z.

Đánh giá và tìm GTNN của T.

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Theo bài ra ta có:

+) \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\).

+) \(T = \left| {{z^2} - 2wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - 2wz - {{\left| z \right|}^2}} \right|\)

\(\begin{array}{l} = \left| {{z^2} - 2wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - 2w - \overline z } \right|\\ = 2\left| {x + yi - 2w - x + yi} \right|\\ = 2\left| {2yi - 2w} \right| = 4\left| {yi - w} \right|\\ = 4\left| { - 2 + \left( {y + 4} \right)i - \left( {w - 2 + 4i} \right)} \right|\\ \ge 4\left[ {\left| { - 2 + \left( {y + 4} \right)i} \right| - \left| {w - 2 + 4i} \right|} \right]\\ = 4\left( {\sqrt {4 + {{\left( {y + 4} \right)}^2}} - 1} \right)\end{array}\)

Vì \({x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow {y^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le y \le 2\).

\( \Rightarrow 2 \le y + 4 \le 6 \Rightarrow {\left( {y + 4} \right)^2} \ge 4\).

Suy ra \(T \ge 4\left( {\sqrt 8 - 1} \right) = 8\sqrt 2 - 4\).

Dấu “=” xảy ra khi \(z = - 2i,\,\,w = \left( {2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 4} \right)i\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) bằng \(8\sqrt 2 - 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.