Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 13; - 9;3} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\) và \(C\left(

Câu hỏi số 492326:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 13; - 9;3} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\) và \(C\left( {1;1; - 1} \right)\). Xét các mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(C\) sao cho \(A\) và \(B\) nằm cùng phía so với \(\left( P \right)\). Khi đó \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) + 2d\left( {B;\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\left( P \right)\) có dạng \(ax + by + cz - 5 = 0\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:

A. \(4\)

B. \(6\)

C. \(5\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492326

Phương pháp giải

Gọi \(\vec n{\rm{ \;}} = \left( {a';b';c'} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng (P).

Do A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) nên: \({P_A}.{P_B} < 0.\)

Tính \(T = d\left( {A;\left( P \right)} \right) + 2d\left( {B;\left( P \right)} \right)\), sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) laf \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\).

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a';b';c'} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(C\left( {1;1; - 1} \right) \in \left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng:

\(a'\left( {x - 1} \right) + b'\left( {y - 1} \right) + c'\left( {z + 1} \right) = 0\)

Do \(A\left( { - 13; - 9;3} \right),\,\,B\left( {2;0;0} \right)\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}\left( { - 13a' - 9b' + 3c' - a' - b' - c'} \right)\left( {2a' - a' - b' + c'} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( { - 14a' - 10b' + 4c'} \right)\left( {a' - b' + c'} \right) > 0\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}T = d\left( {A;\left( P \right)} \right) + 2d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 14a' - 10b' + 4c'} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }} + 2\frac{{\left| {a' - b' + c'} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {\left( { - 14a' - 10b' + 4c'} \right) + 2\left( {a' - b' + c'} \right)} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }} = \frac{{\left| { - 12a' - 12b' + 6c'} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}{\left( { - 12a' - 12b' + 6c'} \right)^2} \le \left( {{{12}^2} + {{12}^2} + {6^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} \right)\\ \Rightarrow \left| { - 12a' - 12b' + 6c'} \right| \le \sqrt {324} \sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} \end{array}\)

Do đó \(T \le \sqrt {324} = 18\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{a'}}{{ - 12}} = \frac{{b'}}{{ - 12}} = \frac{{c'}}{6} \Leftrightarrow a' = b' = - 2c'\)

Chọn \(c' = - 1\) \( \Rightarrow a' = b' = 2\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2x + 2y - z - 5 = 0\).

Vậy \(a = 2,\,\,b = 2,\,\,c = - 1 \Rightarrow a + b + c = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.