Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\). Giá

Câu hỏi số 493222:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biếu thức \(P = 3x + 4y\) có dạng \(5\sqrt M + m\) với \(M,\,\,m \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(M + m\).

A. \(M + m = 4\)

B. \(M + m = 1\)

C. \(M + m = 11\)

D. \(M + m = - 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493222

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6\end{array}\)

Là hình tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Ta lại có: \(P = 3x + 4y\, \Rightarrow 3x + 4y - P = 0\) là phương trình đường thẳng \(d\).

Để tồn tại cặp số \(x,\,\,y\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) phải có điểm chung. Khi đó:

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\left( d \right)} \right) \le R\, \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6 \,\\ \Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6 \Leftrightarrow - 5\sqrt 6 \le P + 5 \le 5\sqrt 6 \\ \Leftrightarrow - 5\sqrt 6 - 5 \le P \le 5\sqrt 6 - 5\end{array}\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = 5\sqrt 6 - 5 \Rightarrow M = 6;\,\,m = - 5\).

Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.