Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hinh thang vuông tại \(A\) và \(D\). Biết \(AB = 4a,\) \(AD = CD = 2a\). Cạnh bên \(SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\), \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MS} \) và \(E\) là trung điểm cạnh \(CD\) (thao khảo hình vẽ). Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(MGABE\).

Câu 493224: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hinh thang vuông tại \(A\) và \(D\). Biết \(AB = 4a,\) \(AD = CD = 2a\). Cạnh bên \(SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\), \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MS} \) và \(E\) là trung điểm cạnh \(CD\) (thao khảo hình vẽ). Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(MGABE\).

A. \(\dfrac{{13{a^3}}}{4}\)

B. \(\dfrac{{27{a^3}}}{8}\)

C. \(\dfrac{{25{a^3}}}{9}\)

D. \(\dfrac{{10{a^3}}}{3}\)

Câu hỏi : 493224

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) và \(AK \cap CN = H\).

Khi đó \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow HN = \dfrac{{CN}}{3} = \dfrac{{2a}}{3}\,;\,\,\,\,\,\dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{2}{3}\).

Mà G là trọng tâm tam giác SBC nên \(\dfrac{{SG}}{{SK}} = \dfrac{2}{3}\).

Do đó \(\dfrac{{SG}}{{SK}} = \dfrac{{AH}}{{AK}}\, \Rightarrow GH\parallel SA\, \Rightarrow \dfrac{{GH}}{{SA}} = \dfrac{{HK}}{{AK}} = \dfrac{1}{3}\).

Có \(AM = \dfrac{2}{3}SA = 2a\, \Rightarrow \dfrac{{GH}}{{AM}} = \dfrac{{GH}}{{\dfrac{2}{3}SA}} = \dfrac{1}{2}\).

Gọi \(MG \cap AK = I\).

Xét tam giác vuông \(MAI\) có \(MA//GH\, \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{AI}} = \dfrac{{GH}}{{AM}} = \dfrac{1}{2}\, \Rightarrow H\) là trung điểm của\(AI\).

Mà \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABI\).

\( \Rightarrow BI//HN\,\) và \(BI = 2HN = 2.\dfrac{1}{3}CN = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{4a}}{3}\).

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AN\) \( \Rightarrow d\left( {E;BI} \right) = d\left( {J;BI} \right) = JB = 3a\).

Mà \({S_{AEBI}} = {S_{ABE}} + {S_{EBI}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;AB} \right).AB + \dfrac{1}{2}d\left( {E;BI} \right).BI\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.2a.4a + \dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{{4a}}{3} = 6{a^2}\)

Có \({V_{M.AEBI}} = \dfrac{1}{3}.MA.{S_{AEBI}} = \dfrac{1}{3}.2a.6{a^2} = 4{a^3}\), \({V_{G.BEI}} = \dfrac{1}{3}.GH.{S_{BEI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{{4a}}{3} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

Vậy \({V_{M.GABE}} = {V_{M.AEBI}} - {V_{G.BEI}} = \dfrac{{10{a^3}}}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.