Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x - {5^m}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn

Câu hỏi số 493894:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x - {5^m}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\) để bất phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) \ge x\) đúng với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( {2;6} \right)\)?

A. 5

B. 11

C. 6

D. 8

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493894

Giải chi tiết

Đặt \(t = f\left( x \right)\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) \ge x\\f\left( x \right) = t\end{array} \right.\, \Rightarrow f\left( t \right) - f\left( x \right) \ge x - t\, \Rightarrow f\left( t \right) + t \ge f\left( x \right) + x\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 1 = 3{x^2} + 2 + 1 > 0\,\,\forall x - \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( t \right) + t \ge f\left( x \right) + x \Leftrightarrow t \ge x\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = t \ge x \Leftrightarrow {x^3} + x \ge {5^m}\) đúng với mọi \(x \in \left( {2;6} \right)\) (*)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} + x\) với \(x \in \left( {2;6} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {2;6} \right)\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;6} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 10\).

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {5^m} \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;6} \right]} g\left( x \right) = 10 \Leftrightarrow m \le {\log _5}10\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.