Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = a\). Cạnh bên \(SA\) vuông

Câu hỏi số 496833:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là:

A. \({90^0}\)

B. \({60^0}\)

C. \({30^0}\)

D. \({45^0}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496833

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AC\) \( \Rightarrow BH \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\BH \subset \left( {ABC} \right),\,\,BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \,BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(HK \bot SC\,\,\,\left( {K \in SC} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SC\\BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\, \Rightarrow SC \bot BK\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\HK \subset \left( {SAC} \right),\,\,HK \bot SC\\BK \subset \left( {SBC} \right),\,\,BK \bot SC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {HK;BK} \right) = \angle BKH\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \) và \(BH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \(\Delta CKH \sim \Delta CAS\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{SA}} = \dfrac{{CH}}{{SC}}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{{HC.SA}}{{SC}}\).

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{HC.SA}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Xét am giác BHK vuông tại H có \(\tan \alpha = \dfrac{{BH}}{{HK}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} = \sqrt 3 \, \Rightarrow \alpha = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.