Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\dfrac{{x - 1}}{{ -

Câu hỏi số 496834:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 2z - 1 = 0\). Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(\left( \Delta \right)\) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất có phương trình dạng \(7x + by + cz + d = 0\). Giá trị \(b + c + d\) là:

A. \( - 3\).

B. \( - 23\)

C. \(3\)

D. \( - 5\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496834

Giải chi tiết

Gọi \(\Delta \cap \left( \alpha \right) = \left\{ H \right\}\), khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\\x + 2y - 2z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1} = t\\\left( {1 - t} \right) + 2.2t - 2\left( { - 1 + t} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1} = t\\t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {3; - 4; - 3} \right)\end{array}\)

Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc \(\Delta \). Gọi \(d = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(d\) và \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha \right)\).

Khi đó ta có \(\angle \left( {\left( P \right);\left( \alpha \right)} \right) = \angle AKI\) và \(\sin \angle AKI = \dfrac{{AI}}{{AK}}\).

Do \(AI\) không đổi nên \(\angle AK{I_{\min }} \Leftrightarrow \sin \angle AK{I_{\min }} \Leftrightarrow {\dfrac{{AI}}{{AK}}_{\min }} \Leftrightarrow A{K_{\max }}\).

Lại có \(AK \le AH\) nên \(A{K_{\max }} = AH \Leftrightarrow K \equiv H\). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng nhỏ nhất khi \(d \bot \left( \Delta \right)\).

Ta có: \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Khi đó VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( {6;1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \) VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {7;10; - 13} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng là \(\left( P \right)\) là: \(7x + 10y - 13z - 20 = 0\,\).

Đồng nhất hệ số ta có \(b = 1 - ,\,c = - 13,\,\,d = - 20\).

Vậy \(b + c + d = 10 - 13 - 20 = - 23\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.