Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\)

Câu hỏi số 496835:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\) và \(\dfrac{{\left| {z + 5 - 4i} \right|}}{{\left| {\overline z - 2 + 3i} \right|}} \le 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 10x - 6y\). Giá trị \(M + m\) bằng:

A. \(28\)

B. \( - 28\)

C. \(32\)

D. \( - 32\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496835

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\\\left| {\dfrac{{z + 5 - 4i}}{{\overline z - 2 + 3i}}} \right| \le 1\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\{\left( {a + 5} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \le {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\7a - b + 14 \le 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là giao của miền trong của đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) và phần nằm bên phải đường thẳng \(d:\,\,7x - y + 14 = 0\) (hình bên dưới).

Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + 10x - 6y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 6y - P = 0\) là đường tròn tâm \(J\left( { - 5;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {34 + P} \).

Ta có \(A\left( { - 1;7} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\).

Để biểu thức \(P\) đạt GTLN và GTNN thì \(\left( {J;R} \right)\) phải có điểm chung với phần gạch chéo, nên đường tròn \(\left( {J;R} \right)\) (đường tròn nét đứt) phải nằm giữa \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp túc với \(\left( C \right)\) nên có bán kính \({R_1} = IJ - 5 = 2\).

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = JA = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow 2 \le \sqrt {34 + P} \le 4\sqrt 2 \Leftrightarrow - 30 \le P \le - 2\).

\( \Rightarrow M = - 2,\,\,m = - 30\).

Vậy \(M + m = - 2 + \left( { - 30} \right) = - 32\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.