Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\)
Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\) và \(\dfrac{{\left| {z + 5 - 4i} \right|}}{{\left| {\overline z - 2 + 3i} \right|}} \le 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 10x - 6y\). Giá trị \(M + m\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\\\left| {\dfrac{{z + 5 - 4i}}{{\overline z - 2 + 3i}}} \right| \le 1\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\{\left( {a + 5} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \le {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\7a - b + 14 \le 0\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là giao của miền trong của đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) và phần nằm bên phải đường thẳng \(d:\,\,7x - y + 14 = 0\) (hình bên dưới).
Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + 10x - 6y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 6y - P = 0\) là đường tròn tâm \(J\left( { - 5;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {34 + P} \).
Ta có \(A\left( { - 1;7} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\).
Để biểu thức \(P\) đạt GTLN và GTNN thì \(\left( {J;R} \right)\) phải có điểm chung với phần gạch chéo, nên đường tròn \(\left( {J;R} \right)\) (đường tròn nét đứt) phải nằm giữa \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).
Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp túc với \(\left( C \right)\) nên có bán kính \({R_1} = IJ - 5 = 2\).
Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = JA = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow 2 \le \sqrt {34 + P} \le 4\sqrt 2 \Leftrightarrow - 30 \le P \le - 2\).
\( \Rightarrow M = - 2,\,\,m = - 30\).
Vậy \(M + m = - 2 + \left( { - 30} \right) = - 32\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
