Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) và

Câu hỏi số 496837:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) và \(\left( {2 - z} \right)\left( {i + \overline z } \right)\) là số thực.

A. \(4\).

B. \(2\).

C. \(1\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496837

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có:

\(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {2bi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = 4b\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - z} \right)\left( {i + \overline z } \right)\\ = \left( {2 - a - bi} \right)\left( {i + a - bi} \right)\\ = \left( {2 - a - bi} \right)\left( {a + \left( {1 - b} \right)i} \right)\\ = a\left( {2 - a} \right) + b\left( {1 - b} \right) + \left[ {\left( {2 - a} \right)\left( {1 - b} \right) - ab} \right]i\\ = \left( { - {a^2} + 2a + b - {b^2}} \right) + \left( {2 - 2b - a} \right)i\end{array}\)

Vì \(\left( {2 - z} \right)\left( {i + \overline z } \right)\) là số thực nên \(2 - 2b - a = 0 \Leftrightarrow a = 2 - 2b\) (2)

Thay (2) vào (1) ta có: \({\left( {2 - 2b} \right)^2} = 4b\, \Leftrightarrow {b^2} - 3b + 1 = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\b = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).

Ứng với mỗi giá trị của \(b\) cho ta một giá trị tương ứng của \(a\).

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.