Biết tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\sin }^2}xdx}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}} =

Câu hỏi số 496839:

Vận dụng cao

Biết tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\sin }^2}xdx}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}} = \dfrac{1}{{16}}\left( {a\ln 3 + b + c\sqrt 3 } \right)} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a + b + c\) bằng:

A. \(3\). B. \(11\). C. \(1\). D. \(4\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496839

Giải chi tiết

Đặt \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\cos }^2}xdx}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} \)

Ta có \(I - 3J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{si{n^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I - 3J = \left. {\left( { - \cos x - \sqrt 3 \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{6}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( { - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \sqrt 3 \end{array}\)

Mà \(I + J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} = \dfrac{{\ln 3}}{4}\) (sử dụng MTCT).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I - 3J = 1 - \sqrt 3 \\I + J = \dfrac{{\ln 3}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I - 3J = 1 - \sqrt 3 \\3I + 3J = \dfrac{{3\ln 3}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow 4I = 1 - \sqrt 3 + \dfrac{{3\ln 3}}{4}\)

\( \Rightarrow I = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{3\ln 3}}{{16}} = \dfrac{1}{{16}}\left( {3\ln 3 + 4 - 4\sqrt 3 } \right)\).

Đồng nhất hệ số ta có \(a = 3,\,\,b = 4,\,\,c = - 4\).

Vậy \(a + b + c = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.