Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng

Câu hỏi số 496841:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có hoành độ bằng \( - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(B\)có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\) và \(\left( C \right)\) (phần gạch chéo) bằng \(\dfrac{m}{n}\) (với \(m,n\) nguyên dương và phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản). Giá trị \(m + n\) bằng:

A. \(15\).

B. \(31\).

C. \(13\).

D. \(29\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496841

Giải chi tiết

Ta có \(A\left( { - 1;a - b + c - 1} \right)\) và \(y' = 3a{x^2} + 2ax + b\, \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3 - 2a + b\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A: \(y = \left( {3 - 2a + b} \right)\left( {x + 1} \right) + a - b + c - 1\,\,\left( d \right)\)

Phương trình giao điểm của \(\left( C \right);\,\left( d \right)\) là

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + a{x^2} + bx + c = \left( {3 - 2a + b} \right)\left( {x + 1} \right) + a - b + c - 1\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + bx + c - \left( {3 - 2a + b} \right)x - 2 + a - c = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + \left( {2a - 3} \right)x + a - 2 = 0\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\) trong đó \(x = - 1\) là nghiệm kép nên

\(\begin{array}{l}{x^3} + a{x^2} + \left( {2a - 3} \right)x + a - 2 = k{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {k \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + \left( {2a - 3} \right)x + a - 2 = k\left( {{x^3} - 3x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + \left( {2a - 3} \right)x + a - 2 = k{x^3} - 3kx - 2k\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}k = 1\\0 = a\\ - 3k = 2a - 3\\ - 2k = a - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\k = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng là \(S = - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^3} - 3x - 2} \right)dx} = \dfrac{{27}}{4}\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 27\\n = 4\end{array} \right.\, \Rightarrow m + n = 31\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.