Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = b,\,\,BC = b\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) tính theo \(b\) bằng:

Câu 497401: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = b,\,\,BC = b\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) tính theo \(b\) bằng:

A. \(\dfrac{{2b\sqrt 5 }}{5}\)

B. \(\dfrac{{2b\sqrt 5 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2b\sqrt {57} }}{{19}}\)

D. \(\dfrac{{2b\sqrt {57} }}{3}\)

Câu hỏi : 497401

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{b^2} + 3{b^2}} = 2b\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD} \right)\) và trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AH\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BD\\AK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\(AH = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{b.b\sqrt 3 }}{{\sqrt {{b^2} + 3{b^2}} }} = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{2}\)
\(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{2b.\dfrac{{b\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {4{b^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2b\sqrt {57} }}{{19}}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.