Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,5x + by + cz + d = 0\) đi qua hai điểm \(A\left( {

Câu hỏi số 497405:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,5x + by + cz + d = 0\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;5;7} \right)\), \(B\left( {4;2;3} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 3b - 2c\).

A. \(1\)

B. \(9\)

C. \(6\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497405

Giải chi tiết

Vì \(A,\,\,B \in \left( P \right)\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 5 + 5b + 7c + d = 0\\20 + 2b + 3c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 25 + 3b + 4c = 0\\ - 5 + 5b + 7c + d = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25 - 4c}}{3}\\ - 5 + 5\dfrac{{25 - 4c}}{3} + 7c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25 - 4c}}{3}\\ - 15 + 125 - 20c + 21c + 3d = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25 - 4c}}{3}\\110 + c + 3d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25 - 4c}}{3}\\d = \dfrac{{ - 110 - c}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( P \right):\,\,5x + \dfrac{{25 - 4c}}{3}y + cz + \dfrac{{ - 110 - c}}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 15x + \left( {25 - 4c} \right)y + 3cz - 110 - c = 0\end{array}\)

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\), bán kính \(r = 5\).

Để đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) phải lớn nhất.

Ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 15 + \left( {25 - 4c} \right)2 + 3c.3 - 110 - c} \right|}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{\left( {25 - 4c} \right)}^2} + 9{c^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| { - 15 + 50 - 8c + 9c - 110 - c} \right|}}{{\sqrt {25{c^2} - 200c + 850} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{75}}{{\sqrt {25{c^2} - 200c + 850} }}\end{array}\)

Để \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) lớn nhất thì \(25{c^2} - 200c + 850\) nhỏ nhất.

Ta có: \(25{c^2} - 200c + 850 = 25\left( {{c^2} - 8c + 34} \right) = 25\left[ {{{\left( {c - 4} \right)}^2} + 18} \right] \ge 450\).

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le \dfrac{{75}}{{\sqrt {450} }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow c = 4 \Rightarrow b = \dfrac{{25 - 4c}}{3} = 3\).

Vậy \(T = 3b - 2c = 3.3 - 2.4 = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.