Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Câu hỏi số 497406:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và thỏa mãn \({x^2}{f^2}\left( x \right) + \left( {2x - 1} \right)f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( 1 \right) = - 2\). Tính \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

A. \( - 1 - \dfrac{{\ln 2}}{2}\)

B. \( - \dfrac{1}{2} - \ln 2\)

C. \( - \dfrac{3}{2} - \ln 2\)

D. \( - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\ln 2}}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497406

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}{f^2}\left( x \right) + \left( {2x - 1} \right)f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 1\\ \Leftrightarrow {x^2}{f^2}\left( x \right) + 2xf\left( x \right) + 1 = xf'\left( x \right) + f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)^2} = xf'\left( x \right) + f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{xf'\left( x \right) + f\left( x \right)}}{{{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)}^2}}} = 1\end{array}\)

Ta có \(\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)' = f\left( x \right) + xf'\left( x \right)\) nên \(\dfrac{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)'}}{{{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)}^2}}} = 1\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có \(\int {\dfrac{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)'}}{{{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {dx} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{xf\left( x \right) + 1}} = x + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) = - 2\) \( \Rightarrow - \dfrac{1}{{1f\left( 1 \right) + 1}} = 1 + C \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{ - 2 + 1}} = 1 + C \Leftrightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow - \dfrac{1}{{xf\left( x \right) + 1}} = x\) \( \Leftrightarrow xf\left( x \right) + 1 = - \dfrac{1}{x}\) \( \Leftrightarrow xf\left( x \right) = - \dfrac{1}{x} - 1\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}\,\,\left( {do\,\,x \ne 0} \right)\).

Vậy \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\dfrac{1}{x} - \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} - \ln 2 - 1 + \ln 1 = - \dfrac{1}{2} - \ln 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.