Cho ba số thực x, y, z ∈ [1; 3]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 49895:

Cho ba số thực x, y, z ∈ [1; 3]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{36x}{yz}$ + $\frac{2y}{zx}$ + $\frac{z}{xy}$

A. Min P = 7

B. Min P = 3

C. Min P = 1

D. Min P = 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:49895

Giải chi tiết

f(x) = $\frac{36x}{yz}$ + $\frac{2y}{zx}$ + $\frac{z}{xy}$ , x ∈ [1; 3], y, z là tham số

f'(x) = $\frac{36x}{yz}$ - $\frac{2y}{zx^{2}}$ - $\frac{z}{x^{2}y}$ = $\frace_36{x^2} - 2{y^2} - {z^2}e_{x^2}yz$ ≥ $\frace_36 - 2.9 - 9e_{x^2}yz$ >0

Suy ra f(x) đồng biến trên [1; 3] nên

f(x) ≥ f(1) = $\frac{36}{yz}$ + $\frac{2y}{zx}$ + $\frac{z}{xy}$ , = g(y) ,y ∈ [1; 3]; z là tham số

g'(y) = - $\frac{36}{y^{2}z}$ + $\frac{2}{z}$ - $\frac{z}{y^{2}}$ = $\frace_ - 36 + 2{y^2} - {z^2}e_{y^2}z$ ≤ $\frace_ - 36 + 2.9 - {1^2}e_{y^2}z$ < 0

Suy ra g(y) nghịch biến trên [1; 3]

=> g(y) ≥ g(3) = $\frac{12}{z}$ + $\frac{6}{z}$ + $\frac{z}{3}$ = h(z), z ∈ [1; 3];

h'(z) = - $\frac{18}{z^{2}}$ + $\frac{1}{3}$ ≤ - $\frac{18}{9}$ + $\frac{1}{3}$ < 0

=> h(z) nghịch biến trên [1; 3] => h(z) ≥ h(3) = $\frace_18{3}$ + 1 = 7

Vậy P ≥ 7dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 1 và y = z = 3.

Do đó Min P = 7

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.