Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 502585:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,{\rm{ }}AD\).\(\left\{ H \right\} = DM \cap CN\). Biết \(SH\)vuông góc với \((ABCD)\), \(SH = a\sqrt 3 \). Tính \(d(DM,SC)\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\)

B. \(\dfrac{2}{{19}}a\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt {57} }}{9}a\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {57} }}{{19}}a\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502585

Giải chi tiết

Ta đi chứng minh: \(DM \bot CN\)\( \Rightarrow DM \bot \left( {SCN} \right)\)\( \Rightarrow DM \bot SC\)

Phẳng hóa đáy:

\(\Delta ADM = \Delta DCN\,\,\left( {c - c - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle ADM = \angle DCN\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(\angle ADM + \angle HDC = {90^0}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \angle DCN + \angle HDC = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle DHC = {90^0} \Rightarrow DH \bot HC\) (điều phải chứng minh)

\( \Rightarrow 2\) đường thẳng chéo nhau \(DM\) và \(SC\) vuông góc với nhau

\( \Rightarrow \) Ta đi dựng đoạn vuông góc chung bằng cách kẻ \(HK \bot SC\left( {K \in SC} \right)\)\( \Rightarrow \)Đoạn vuông góc chung là \(HK\)

\( \Rightarrow d\left( {DM;SC} \right) = HK\)\( = \dfrac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }}\)

Trong đó: +) \(SH = a\sqrt 3 \)

+) Tính \(HC:\) Xét \(\Delta DNC\) có: \(CH.CN = C{D^2}\)

\( \Rightarrow CH = \dfrac{{C{D^2}}}{{CN}}\)\( = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 .\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {3 + {{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}} }}.a\)\( = \dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\)

\( \Rightarrow d\left( {DM;SC} \right) = \dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.