Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,3{x^2} - 4{y^2} = 12\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\). Tìm trên nhánh

Câu hỏi số 504162:

Vận dụng cao

Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,3{x^2} - 4{y^2} = 12\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\). Tìm trên nhánh phải của \(\left( H \right)\) hai điểm \(P,\,\,Q\) sao cho tam giác \(OPQ\) là tam giác đều. Tọa độ hai điểm \(P,\,\,Q\) có thể là:

A. \(P\left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right)\)

B. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right)\)

C. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

D. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:504162

Phương pháp giải

Gọi \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right) \in \left( H \right),\,\,{x_1},\,\,{x_2} > 0\), \({x_1},\,\,{x_2} > 0\).

\(\Delta OPQ\) đều \( \Rightarrow OP = OQ = PQ\)

Giải chi tiết

Giả sử \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right) \in \left( H \right),\,\,{x_1},\,\,{x_2} > 0\), \({x_1},\,\,{x_2} > 0\).

\(\Delta OPQ\) đều \( \Rightarrow OP = OQ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = {x_0},\,\,{y_1} = - {y_2} = {y_0}\)

\( \Rightarrow \) Giả sử \(P\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right),\,\,Q\left( {{x_0};\,\, - {y_0}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0},{y_0} > 0\)

\(OP = PQ \Leftrightarrow O{P^2} = P{Q^2} \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 4{y_0}^2 \Leftrightarrow {x_0}^2 = 3{y_0}^2\)

Mà \(3{x_0}^2 - 4{y_0}^2 = 12 \Rightarrow 3.3{y_0}^2 - 4{y_0}^2 = 12 \Leftrightarrow 5{y_0}^2 = 12 \Leftrightarrow {y_0}^2 = \dfrac{{12}}{5} \Rightarrow {x_0}^2 = \dfrac{{36}}{5}\)

Do \({x_0},\,\,{y_0} > 0\) nên \({x_0} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }},\,\,{y_0} = \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} \Rightarrow P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\) hoặc \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10