Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,3{x^2} - 4{y^2} = 12\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\). Tìm trên nhánh

Câu hỏi số 504162:

Vận dụng cao

Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,3{x^2} - 4{y^2} = 12\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\). Tìm trên nhánh phải của \(\left( H \right)\) hai điểm \(P,\,\,Q\) sao cho tam giác \(OPQ\) là tam giác đều. Tọa độ hai điểm \(P,\,\,Q\) có thể là:

A. \(P\left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right)\)

B. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{2}{5}} } \right)\)

C. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

D. \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:504162

Phương pháp giải

Gọi \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right) \in \left( H \right),\,\,{x_1},\,\,{x_2} > 0\), \({x_1},\,\,{x_2} > 0\).

\(\Delta OPQ\) đều \( \Rightarrow OP = OQ = PQ\)

Giải chi tiết

Giả sử \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right) \in \left( H \right),\,\,{x_1},\,\,{x_2} > 0\), \({x_1},\,\,{x_2} > 0\).

\(\Delta OPQ\) đều \( \Rightarrow OP = OQ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = {x_0},\,\,{y_1} = - {y_2} = {y_0}\)

\( \Rightarrow \) Giả sử \(P\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right),\,\,Q\left( {{x_0};\,\, - {y_0}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0},{y_0} > 0\)

\(OP = PQ \Leftrightarrow O{P^2} = P{Q^2} \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 4{y_0}^2 \Leftrightarrow {x_0}^2 = 3{y_0}^2\)

Mà \(3{x_0}^2 - 4{y_0}^2 = 12 \Rightarrow 3.3{y_0}^2 - 4{y_0}^2 = 12 \Leftrightarrow 5{y_0}^2 = 12 \Leftrightarrow {y_0}^2 = \dfrac{{12}}{5} \Rightarrow {x_0}^2 = \dfrac{{36}}{5}\)

Do \({x_0},\,\,{y_0} > 0\) nên \({x_0} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }},\,\,{y_0} = \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} \Rightarrow P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\) hoặc \(P\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\, - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right),\,\,Q\left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};\,\,\sqrt {\dfrac{{12}}{5}} } \right)\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.