Chứng minh rằng giá trị của các phân thức sau không phụ thuộc vào giá trị của \(x\) và \(y\):

Câu hỏi số 506041:

Vận dụng cao

a) \(\frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)

b) \(\frac{{a{x^2} - a}}{{x + 1}} - \frac{{axy + ax - ay - a}}{{y + 1}}\,\,\,\left( {x \ne - 1;y \ne - 1} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506041

Phương pháp giải

Vận dụng hằng đẳng thức, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để xác định nhân tử chung để rút gọn phân thức đại số

Giải chi tiết

a) \(\frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + a{x^2} + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - a{x^2} - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) + a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + a} \right) - a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {1 + a + {a^2}} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {1 - a + {a^2}} \right)}}\end{array}\)

Ta có: \({x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\({a^2} - a + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall a \in \mathbb{R}\)

Suy ra, \(\frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}} = \frac{{1 + a + {a^2}}}{{1 - a + {a^2}}}\)

Vậy phân thức không phụ thuộc vào giá trị của \(x\)

b) \(\frac{{a{x^2} - a}}{{x + 1}} - \frac{{axy + ax - ay - a}}{{y + 1}}\,\,\,\left( {x \ne - 1;y \ne - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{{ax\left( {y + 1} \right) - a\left( {y + 1} \right)}}{{y + 1}}\\ = \frac{{a\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{{\left( {y + 1} \right).a\left( {x - 1} \right)}}{{y + 1}}\end{array}\)

\( = a\left( {x - 1} \right) - a\left( {x - 1} \right)\) (vì \(x \ne - 1;y \ne - 1\))

\( = 0\)

Vậy phân thức không phụ thuộc vào giá trị của \(x\) và \(y\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link