Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AM,BN,CP\) là các đường trung tuyến. Qua \(N\) kẻ đường thẳng song

Câu hỏi số 507104:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AM,BN,CP\) là các đường trung tuyến. Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(PC\) cắt \(BC\) ở \(F\). Các đường thẳng qua \(F\) song song với \(BN\) và kẻ qua \(B\) song song với \(CP\) cắt nhau ở \(D\).

a) Tứ giác \(CPNF\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác \(BDFN\) là hình bình hành;

c) Chứng minh tứ giác \(PNCD\) là hình thang;

d) Chứng minh \(AM = DN\);

e) Tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác \(PNCD\) là hình thang cân

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507104

Phương pháp giải

a) + b) Vận dụng tính chất đường trung bình của hình tam giác và dấu hiệu nhận biết của hình bình hành: tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.

c) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình thang: tứ giác có hai cạnh đáy song song với nhau là hình thang.

d) Vận dụng tính chất của hình bình hành.

e) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình thang cân.

Giải chi tiết

a) \(\Delta ABC\) có \(P,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\)

\( \Rightarrow PN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow PN//BC\)

\( \Rightarrow PN//CF\)

Tứ giác \(CPNF\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}PN//CF\left( {cmt} \right)\\NF//PC\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow CPNF\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

b) Vì \(CPNF\) là hình bình hành (cma) \( \Rightarrow PC//NF\) mà \(BD//CP\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow NF//BD\)

Tứ giác \(BDFN\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}NF//BD\left( {cmt} \right)\\BN//FD\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BDFN\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

c) Ta có: \(CPNF\) là hình bình hành \( \Rightarrow NF = PC\) (tính chất của hình bình hành)

\(BDFN\) là hình bình hành \( \Rightarrow NF = BD\) (tính chất của hình bình hành)

Suy ra, \(PC = BD\)

Tứ giác \(BDCP\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}PC = BD\left( {cmt} \right)\\PC//BD\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BDCP\) là hình bình hành

\( \Rightarrow P,M,D\) thẳng hàng

\(\Delta ABC\) có \(P,M\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\)

\( \Rightarrow PM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow PM//AC\)

\( \Rightarrow PD//NC\)

Tứ giác \(PNCD\) có: \(NC//PD\) nên \(PNCD\) là hình thang.

d) Ta có: \(PM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\left( {cmt} \right) \Rightarrow PM = \frac{1}{2}AC\)

Mà \(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow AN = \frac{1}{2}AC\)

Suy ra, \(AN = PM = \frac{1}{2}AC\)

Mặt khác, \(BPCD\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(PD\)\( \Rightarrow PM = MD\)

Mà \(PM = AN\), suy ra \(MD = AN\)

Tứ giác \(AMDN\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MD = AN\left( {cmt} \right)\\MD//AN\left( {do\,PD//AC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AMDN\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

\( \Rightarrow AM = ND\) (tính chất của hình bình hành)

e) Hình thang \(PDCN\) là hình thang cân

\( \Leftrightarrow CP = ND\)

\( \Leftrightarrow AM = CP\)

\( \Leftrightarrow \Delta AGP = \Delta CGM\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Leftrightarrow AP = CM\)

\( \Leftrightarrow BA = BC\)

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân ở \(B\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link