Số nghiệm của phương trình $\ln \frac{{\sqrt {{x^2} + 80} }}{{{3^x}}} = {2.3^{x + 1}} - 2\sqrt {{x^2} + 80}
Số nghiệm của phương trình $\ln \frac{{\sqrt {{x^2} + 80} }}{{{3^x}}} = {2.3^{x + 1}} - 2\sqrt {{x^2} + 80} + \ln 3$ là?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có: $\ln \frac{{\sqrt {{x^2} + 80} }}{{{3^x}}} = {2.3^{x + 1}} - 2\sqrt {{x^2} + 80} + \ln 3 \Leftrightarrow \ln \sqrt {{x^2} + 80} + 2\sqrt {{x^2} + 80} = \ln {3^{x + 1}} + {2.3^{x + 1}}\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right) = \ln t + 2t,\,\,\forall t > 0$
Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{1}{t} + 2 > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $f\left( {\sqrt {{x^2} + 80} } \right) = f\left( {{3^{x + 1}}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 80} = {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + 80 = {9^{x + 1}} \Leftrightarrow {9^{x + 1}} - {x^2} - 80 = 0$
Xét hàm số $g\left( x \right) = {9^{x + 1}} - {x^2} - 80$ trên $\mathbb{R}$. Ta có:
$g'\left( x \right) = {2.9^{x + 1}}\ln 3 - 2x$ ; $g''\left( x \right) = {4.9^{x + 1}}{\left( {\ln 3} \right)^2} - 2$
$g''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = - {\log _9}\left( {2{{\ln }^2}3} \right) - 1$
$ \Rightarrow g'\left( {{x_0}} \right) = g'\left( { - {{\log }_9}\left( {2{{\ln }^2}3} \right) - 1} \right) \approx 3,7 > 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g'\left( x \right) = + \infty \,\,;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g'\left( x \right) = + \infty $
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g'\left( x \right) > 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow $$g\left( x \right)$ đồng biến trên
$ \Rightarrow $ Phương trình $g\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất một nghiệm
Mà $g\left( 1 \right) = 0$. Do đó phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
