Cho hàm số y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C). Tìm m (m ∈ R ) để đồ thị (C) cắt đường thẳng d: y= x + m tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ∆ IAB cân tại I.

Câu hỏi số 50811:

Cho hàm số y = $\frace_{\rm{2x - 1}}e_{\rm{x + 1}}$ có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

2) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C). Tìm m (m ∈ R ) để đồ thị (C) cắt đường thẳng d: y= x + m tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ∆ IAB cân tại I.

A. m ∈ (-∞; 3 - 2√3) ∪ (3 + 2√3; +∞)

B. m ∈ (-∞; 4 - 2√3) ∪ (3 + 2√3;+∞)

C. m ∈ (-∞; 2 - 2√3) ∪ (3 + 2√3; +∞)

D. m ∈ (-∞; 1 - 2√3) ∪ (3 + 2√3; +∞)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:50811

Giải chi tiết

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = $\frace_{\rm{2x - 1}}e_{\rm{x + 1}}$

Tập xác định: D = R\{-1}

Sự biến thiên của hàm số

-Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frace_2x - 1e_x + 1$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frace_2 - \frac{1}{x}e_1 + \frac{1}{x}$ = 2

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frace_2x - 1e_x + 1$ = -∞ ; $\lim_{x\to-1^-}$ $\frace_{\rm{2x - 1}}e_{\rm{x + 1}}$ = +∞

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng

- Lập bảng biến thiên

y' = $\frac{3}e_{{(x + 1)}^2}$ > 0 ∀x ∈ D ,y' không xác định <=> x = -1

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\dpi{80} (-\infty ;-1)$ và $\dpi{80} \left ( 1;+\infty \right )$ . Hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao của đồ thị hàm số và Ox: y = 0 =>x = $\frac{1}{2}$

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x = 0 => y = -1

đồ thị hàm số nhận I(-1; 2) làm tâm đốí xứng

Hoành độ giao điểm của (C) và d: y = x + m là nghiệm của phương trình

$\frace_2x - 1e_x + 1$ = x + m (1)

<=> x²+ (m - 1)x + m + 1 = 0 (2) (x ≠ - 1) đặt $\dpi{80} g(x)=x^{2}+(m-1)x+m+1$

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1

<=> $\dpi{80} \left\{\begin{matrix} \Delta >0 & \\g(-1) \neq 0 & \end{matrix}\right.$ $\dpi{80} \left\{\begin{matrix} m^{2}-6m-3>0 & \\ (-1)^{2}+(m-1).(-1)+m+1\neq 0 \end{matrix}\right.$ =>m²- 6m - 3 > 0

<=> m ∈ (-∞; 3 - 2√3) ∪ (3 + 2√3; +∞) (*)

Với (*) thì d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x₁; x₁+ m), B(x₂; x₂+ m) trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (2) Nên theo Viet => x₁+ x₂ = 1 - m

Để ∆IAB cân tại I => IA = IB <=>IA²- IB²= 0

Có IA²- IB²= (x₁ + 1)² – (x₂ + 1)² + (x₁ + m - 2)² - (x₂ + m - 2)²

= (X₁- X₂) [2(X₁- X₂ ) + 2m - 2] = 0

= (X₁- X₂) [2(1 - m) + 2m - 2] = 0 luôn đúng với mọi m

Vậy ∆IAB cân tại I thi m ∈(-∞; 3 - 2√3) ∪ (3 + 2√3; +∞)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.