Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = a,\,\,\angle ACB = {30^0}\),

Câu hỏi số 510350:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = a,\,\,\angle ACB = {30^0}\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({45^0}\). Gọi \(\left( T \right)\) là hình trụ ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Thể tích của khối trụ sinh bởi \(\left( T \right)\) là

A. \(\pi {a^3}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)

D. \(2\pi {a^3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510350

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc \(\angle BA'B'\)

Tính được chiều cao của lăng trụ đứng, đồng thời là chiều cao của khối trụ.

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot A'B'\\A'C' \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {A'B'B} \right) \Rightarrow A'C' \bot A'B\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BA'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'C'\\A'B' \bot A'C'\\A'B \bot A'C'\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta A'B'B\) vuông cân tại \(B \Rightarrow h = BB' = A'B' = a\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle ACB = {30^0} \Rightarrow \sin {30^0} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{a}{{BC}} \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow B'C' = 2a\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B'C'\)

Do \(\Delta A'B'C'\) vuông tại \(A' \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A'B'C'\)

\( \Rightarrow R = IA' = \dfrac{{B'C'}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\)

Thể tích của khối lăng trụ: \(V = \pi {R^2}h = \pi .{a^2}.a = \pi {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.