Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là

Câu hỏi số 510360:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(CC'\). Nếu \(AM\) và \(A'N\)A vuông góc với nhau thì khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{4}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{24}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510360

Phương pháp giải

Dựa vào yếu tố vuông góc để tính được chiều cao của lăng trụ đứng.

Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ \(V = {S_d}.h\)

Giải chi tiết

Ta có: \(A'N \bot AM\,\,\,\left( 1 \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A'C' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C'\\IC' = IA' = \dfrac{1}{2}A'C' = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)

Kẻ \(MK \bot A'C' \Rightarrow MK||B'I \Rightarrow \) \(K\) là trung điểm của \(IA' \Rightarrow IK = KA' = \dfrac{1}{2}IA' = \dfrac{a}{4}\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}MK \bot A'C'\\MK \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow MK \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow MK \bot A'N\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'N \bot AM\\A'N \bot MK\end{array} \right. \Rightarrow A'N \bot \left( {AMK} \right) \Rightarrow A'N \bot AK\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\tan \angle KAA' = \dfrac{{A'K}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{a}{4}}}{h} = \dfrac{a}{{4h}}\\\tan \angle C'A'N = \dfrac{{NC'}}{{A'C'}} = \dfrac{{\dfrac{h}{2}}}{a} = \dfrac{h}{{2a}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{{4h}} = \dfrac{h}{{2a}} \Rightarrow 4{h^2} = 2{a^2} \Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Thể tích khối lăng trụ: \({S_{ABC.A'B'C'}} = {S_d}.h = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.