Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(BC = a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(BC = a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chiều cao của mặt bên đồng thời là chiều cao của hình chóp.
Xác định góc giữa \(SC\) và đáy là góc \(\angle SCH\).
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = {S_d}.h\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\)
Gọi độ dài cạnh \(AB\) là \(x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = SB = CD = x\\HA = HB = \dfrac{x}{2}\\SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
\(HC = \sqrt {H{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} \)
\(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;CH} \right) = \angle SCH = {30^0}\)
\(SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại \(H\) có \(\angle SHC = {30^0}\) \( \Rightarrow SH = HC.\tan {30^0} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} \right).\dfrac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2}}}{{12}} + \dfrac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2}}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\,\,;\,\,\,\,SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
