Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(BC = a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam

Câu hỏi số 510362:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(BC = a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510362

Phương pháp giải

Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chiều cao của mặt bên đồng thời là chiều cao của hình chóp.

Xác định góc giữa \(SC\) và đáy là góc \(\angle SCH\).

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = {S_d}.h\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\)

Gọi độ dài cạnh \(AB\) là \(x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = SB = CD = x\\HA = HB = \dfrac{x}{2}\\SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\(HC = \sqrt {H{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} \)

\(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;CH} \right) = \angle SCH = {30^0}\)

\(SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại \(H\) có \(\angle SHC = {30^0}\) \( \Rightarrow SH = HC.\tan {30^0} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + {a^2}} \right).\dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2}}}{{12}} + \dfrac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2}}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\,\,;\,\,\,\,SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.