Cho \(\Delta ABC\). Trên các tia \(AB\), \(BC\), \(CA\) lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\) theo thứ tự sao
Cho \(\Delta ABC\). Trên các tia \(AB\), \(BC\), \(CA\) lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\) theo thứ tự sao cho \(BM = AC\), \(CN = AB\), \(AP = BC\). Chứng minh rằng tích các diện tích của các tam giác \(APB\), \(BMC\), \(CNA\) bằng lập phương diện tích \(\Delta ABC\).
Quảng cáo
+Tính tỉ lệ diện tích \(\Delta ABP\) và \(\Delta ABC\). Tương tự tỉ lệ diện tích \(\Delta ACN\) và \(\Delta ABC\), \(\Delta BCM\) và \(\Delta ABC\).
+ Biểu diễn tích các tỉ lệ và dựa vào độ dài các cạnh bằng nhau trong gt suy ra \({S_{ABP}}.{S_{ACN}}.{S_{CBM}} = {\left( {{S_{ABC}}} \right)^3}\).
Gọi \(BH\) là đường cao kẻ từ \(B\) của \(\Delta ABC\). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABP}} = \frac{1}{2}.BH.AP\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BH.AC\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{ABP}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AP}}{{AC}}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{{{S_{ACN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{CN}}{{BC}};\,\,\,\frac{{{S_{CBM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{BM}}{{BC}}\)
Do đó \(\frac{{{S_{ABP}}}}{{{S_{ABC}}}}.\frac{{{S_{ACN}}}}{{{S_{ABC}}}}.\frac{{{S_{CBM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AP}}{{AC}}\frac{{CN}}{{BC}}.\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BC.AB.AC}}{{AC.BC.AB}} = 1\) (vì \(BM = AC\), \(CN = AB\), \(AP = BC\))
Vậy \({S_{ABP}}.{S_{ACN}}.{S_{CBM}} = {\left( {{S_{ABC}}} \right)^3}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
