Cho \(\Delta ABC\). Gọi\(I\) là trung điểm của \(BC\). Lấy \(E\) và \(F\) lần lượt trên \(AB\) và
Cho \(\Delta ABC\). Gọi\(I\) là trung điểm của \(BC\). Lấy \(E\) và \(F\) lần lượt trên \(AB\) và \(AC\). Chứng minh rằng: \({S_{IEF}} \le \frac{1}{2}.{S_{ABC}}\).
Quảng cáo
+ Vẽ dường phụ: Lấy \(E'\) đối xứng với \(E\) qua \(I\) và \(FH \bot EI\left( {H \in EI} \right)\).
+ Chứng minh \(\Delta BEI = \Delta CE'I\left( {c.g.c} \right)\). Từ đó suy ra \({S_{BEI}} = {S_{CEI}}\).
+ Chứng minh \({S_{IEF}} \le {S_{IFC}} + {S_{BEI}}\) và \({S_{IEF}} \le {S_{AEIF}}\). Từ đó suy ra \({S_{IEF}} \le \frac{1}{2}{S_{ABC}}\).
Lấy \(E'\) đối xứng với \(E\) qua \(I\).
Kẻ \(FH \bot EI\left( {H \in EI} \right)\)
Xét \(\Delta BEI\) và \(\Delta CE'I\) có:
\(IE = IE'\) (gt)
\(\angle BIE = \angle CIE'\) (vì 2 góc ở vị trí đối đỉnh)
\(IB = IC\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta BEI = \Delta CE'I\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow {S_{BEI}} = {S_{CEI}}\)
Ta có: \(\Delta IEF\) và \(\Delta IE'F\) có chung đường cao \(FH\) và 2 cạnh đáy \(EI = E'I\)
\( \Rightarrow {S_{IEF}} = {S_{IE'F}} \le {S_{IE'CF}}\)
mà \({S_{IE'CF}} = {S_{IFC}} + {S_{CE'I}} = {S_{IFC}} + {S_{BEI}}\)
nên \({S_{IEF}} \le {S_{IFC}} + {S_{BEI}}\) (1)
Mặt khác ta có: \({S_{IEF}} \le {S_{AEIF}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(2{S_{IEF}} \le {S_{IFC}} + {S_{BEI}} + {S_{AEIF}}\)
Mà \({S_{IFC}} + {S_{BEI}} + {S_{AEIF}} = {S_{ABC}}\)
Do đó \(2{S_{IEF}} \le {S_{ABC}}\) hay \({S_{IEF}} \le \frac{1}{2}{S_{ABC}}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
