Trong \(\Delta ABC\) lấy điểm \(M\) tùy ý.a) Chứng minh rằng: \(S \le \frac{1}{4}\left( {AM.BC + BM.AC +
Trong \(\Delta ABC\) lấy điểm \(M\) tùy ý.
a) Chứng minh rằng: \(S \le \frac{1}{4}\left( {AM.BC + BM.AC + CM.AB} \right)\), trong đó \(S\) là diện tích \(\Delta ABC\).
b) Từ đó suy ra vị trí điểm \(M\) để \(S\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
+ Vẽ đường phụ: \(BH \bot AM,CK \bot AM\left( {H,K \in AM} \right)\)
+ Chứng minh \({S_{AMB}} + {S_{AMC}} \le \frac{1}{2}.AM.BC\);\({S_{BMA}} + {S_{BMC}} \le \frac{1}{2}.BM.AC\,;{S_{CMA}} + {S_{BMC}} \le \frac{1}{2}.CM.AB\) (Áp dụng tính chất trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Từ đó suy ra \(S \le \frac{1}{4}.\left( {AM.BC + BM.AC\,\, + CM.AB} \right)\)
+ Xét dấu bằng xảy ra của từng đẳng thức để đưa ra kết luận.
a) Kẻ \(BH \bot AM,CK \bot AM\left( {H,K \in AM} \right)\)
Khi đó ta có:
\({S_{AMB}} + {S_{AMC}} = \frac{1}{2}.AM.BH + \frac{1}{2}.AM.CK = \frac{1}{2}.AM.\left( {BH + CK} \right) \le \frac{1}{2}.AM.BC\) (vì \(BH + CK \le BC\)) (1)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{BMA}} + {S_{BMC}} \le \frac{1}{2}.BM.AC\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{S_{CMA}} + {S_{BMC}} \le \frac{1}{2}.CM.AB\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(2\left( {{S_{AMB}} + {S_{AMC}} + {S_{BMC}}} \right) \le \frac{1}{2}.\left( {AM.BC + BM.AC\,\, + CM.AB} \right)\)
Do đó \({S_{AMB}} + {S_{AMC}} + {S_{BMC}} \le \frac{1}{4}.\left( {AM.BC + BM.AC\,\, + CM.AB} \right)\)
Hay \(S \le \frac{1}{4}.\left( {AM.BC + BM.AC\,\, + CM.AB} \right)\)
b) Theo câu a ta có:
\(S \le \frac{1}{4}.\left( {AM.BC + BM.AC\,\, + CM.AB} \right)\)
Dấu "=" xảy ra khi dấu "=" trong (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra.
Điều này tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BM \bot AC\\CM \bot AB\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow M\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
