Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + m + 3 = 0\) (\(x\) là ẩn số) có ba

Câu hỏi số 512182:

Vận dụng

Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + m + 3 = 0\) (\(x\) là ẩn số) có ba nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) sao cho biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^4}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \({P_{\min }} = \frac{9}{{16}}\) khi \(m = 2\)

B. \({P_{\min }} = \frac{{19}}{6}\) khi \(m = - 2\)

C. \({P_{\min }} = \frac{9}{{16}}\) khi \(m = - 2\)

D. \({P_{\min }} = \frac{{19}}{6}\) khi \(m = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512182

Phương pháp giải

Đưa phương trình ban đầu về dạng tích, tìm được một nghiệm và một phương trình bậc hai một ẩn.

Yêu cầu đề bài tương đương với yêu cầu tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đã xác định được.

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai sau đó thay vào biểu thức của đề bài

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - 3x + 3 - \left( {m + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + x + 1 - 3 - \left( {m + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + x - 2 - mx - m - x - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - mx - m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} + 4\left( {m + 3} \right) > 0\\1 - m - m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\2m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} + 8 > 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\m \ne - 1\end{array} \right.\)

Giả sử \({x_1} = 1,\,\,{x_2},{x_3}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = m\\{x_2}{x_3} = - m - 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^4}}}\), để \(P\) có nghĩa thì \({x_2},\,\,{x_3} \ne - 1\) \( \Leftrightarrow 1 + m - m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow - 2 \ne 0\) (luôn đúng).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\,P = \frac{1}{{{2^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^4}}}\\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{{16}} + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}.\frac{1}{{{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^4}}}} \\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{{16}} + \frac{2}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}{{\left( {{x_3} + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{{16}} + \frac{2}{{{{\left( {{x_2}{x_3} + {x_2} + {x_3} + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \frac{1}{{16}} + \frac{2}{{{{\left( { - m - 3 + m + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{16}} + \frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}\).

Vậy \({P_{\min }} = \frac{9}{{16}}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m = - 2\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link