Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(BC\) cố dịnh (\(BC\) không phải là đường kính).

Câu hỏi số 512183:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(BC\) cố dịnh (\(BC\) không phải là đường kính). Điểm \(A\) di dộng trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn. Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua đường thẳng \(AC\) và \(F\) là điểm đối xứng của \(C\) qua đường thẳng \(AB\). Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EC\) và \(FB\), \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BE\) và \(CF\).

a) Chứng minh \(FAHB\) và \(ACKF\) là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(KA\) là phân giác của góc \(BKC\) và ba điểm \(K,\,\,O,\,\,A\) thẳng hàng.

c) Xác định vị trí của điểm \(A\) sao cho tứ giác \(BKCO\) có diện tích lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512183

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp, mối quan hệ góc – đường tròn chứng minh được: \(\angle BOK + \angle BOA = \angle BCK + \angle BCE = \angle KCE = {180^0}\) để suy ra điều phải chứng minh.

c) Ta có: \({S_{BKCO}} = {S_{OBC}} + {S_{KBC}}\)

Vì \({S_{OBC}}\) không đổi nên \({S_{BKCO}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \({S_{KBC}}\) lớn nhất, từ đó tìm điều kiên để \({S_{KBC}}\) lớn nhất

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle BAH = \angle BCH\) (cùng phụ với \(\angle ABC\)).

\(C,\,\,F\) đối xứng qua \(AB \Rightarrow AB\) là trung trực của \(CF \Rightarrow BC = BF\) (tính chất đường trung trực).

\( \Rightarrow \Delta BCF\) cân tại \(B\) \( \Rightarrow \angle BCH = \angle BFH\).

\( \Rightarrow \angle BAH = \angle BFH\).

\( \Rightarrow FAHB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(AHCE\) cũng là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle ACE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

Mà \(\angle AHE = \angle AEB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(FAHB\))

\( \Rightarrow \angle AEB = \angle ACE\).

\( \Rightarrow ACKF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

b) Ta có \(AB\) là trung trực của \(CF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AC = AF\) (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow \Delta AFC\) cân tại \(A\) nên \(\angle AFC = \angle ACF\) (tính chất tam giác cân).

Do tứ giác \(ACKF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên:

\(\angle AFC = \angle AKC\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\angle ACF = \angle AKF\)( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\)).

Suy ra: \(\angle ACF = \angle AKF\).

Vậy \(KA\) là phân giác của góc \(BKC\) .

Vì \(ACKF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle BKC + \angle FAC = {180^0}\) (tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Ta có: \(\angle FAC = 2\angle BAC\), \(\angle BOC = 2\angle BAC\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\)).

\( \Rightarrow \angle FAC = \angle BOC\).

\( \Rightarrow \angle BKC + \angle BOC = {180^0}\) \( \Rightarrow OBKC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle BOK = \angle BCK\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\)).

Lại có \(\angle AOB = 2\angle ACB = \angle BCE\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AB\)).

\( \Rightarrow \angle BOK + \angle BOA = \angle BCK + \angle BCE = \angle KCE = {180^0}\).

Vậy \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

c) Tứ giác \(OBKC\) nội tiếp (cmt). Mà \(O,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(K\) thuộc cung lớn \(BC\) của \(\left( {OBC} \right)\) có bán kính không đổi.

Ta có: \({S_{BKCO}} = {S_{OBC}} + {S_{KBC}}\).

Vì \({S_{OBC}}\) không đổi nên \({S_{BKCO}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \({S_{KBC}}\) lớn nhất.

Kẻ \(KM \bot BC\,\,\left( {M \in BC} \right)\) ta có \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}KM.BC\). Vì \(BC\) không đổi nên \({S_{KBC}}\) lớn nhất khi \(KM\) lớn nhất.

\( \Rightarrow K\) phải là điểm chính giữa của cung lớn \(BC\) của \(\left( {OBC} \right)\).

Khi đó \(OK \bot BC\), mà \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng (cmt) \( \Rightarrow A\) phải là điểm chính giữa của cung lớn \(BC\) của \(\left( O \right)\).

Vậy khi \(A\) nằm chính giữa cung lớn \(BC\) của \(\left( O \right)\) thì \({S_{BKCO}}\) đạt giá trị lớn nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link